INFINITUL
ÎNTRE ABSTRACT ȘI CONCRET
Explicatia lui Georg Cantor
Cea de-a doua explicație provine de la matematicianul Georg Cantor. În anul 1878, Georg Cantor publică în revista Crelle un articol despre conceptul de corespondență 1-1.
De asemenea, el vorbește despre echivalența mulțimilor: două mulțimi sunt echivalente dacă există o corerespondență 1-1 între ele. Ca să înțelegem acest concept, să vedem ce semnifică formarea unei corespondențe 1-1.
Ce înseamnă când spun că am acelaşi număr de degete la ambele mâini? Am 5 degete la fiecare, dar e mai simplu de atât. Dacă le suprapun, nu trebuie să le număr ca să verific. Când spunem că două seturi sunt de aceeaşi mărime înseamnă că elementele lor pot fi potrivite în perechi. Acest fapt înseamnă că nu am acelaşi număr de degete la mâini? Sigur că nu. Faptul că nu putem potrivi elementele nu înseamnă nimic. Dacă găsim un mod în care elementele a 2 seturi se potrivesc, atunci spunem că cele două au acelaşi număr de elemente formând, astfel, o corespondență de 1-1.
Cantor definește mulțimile numărabile drept mulțimi care pot fi puse într-o relație 1-1 cu mulțimea numerelor naturale și dovedește că mulțimea numerelor raționale este numărabilă astfel :
Creez o matrice pornind din stânga sus, coborând înapoi pe diagonală,sărind peste orice fracție, ca 1/1, 2/2, 3/3,etc., care reprezintă acelaşi număr ca cel deja ales. Așa obținem lista tuturor fracţiilor, realizând o potrivire între numerele întregi şi fracţii, deşi credeam că poate ar trebui să existe mai multe fracţii.(Folosind, din nou, corespondența lui Cantor).
Descoperirile lui Georg Cantor au continuat să revoluționeze lumea matematicii. Este evident că nu toate numere care nu apar pe axa numerelor întregi sunt fracții , adică numerele pe care le numim iraționale. Cantor afirmă că imposibilitatea realizării unei corespondențe 1-1 nu se datorează neștiintei noastre, ci doar inexistenței unei soluții.
Spre exemplu, putem considera un set de numere iraționale. În orice moment putem stabili o regulă care să creeze un nou număr irațional nemaiîntâlnit până în momentul actual.
Dacă din numerele de pe prima coloană am alege pe diagonală câte o cifră, am forma un nou număr. Impunându-i acesta o regulă simplă precum 1 --> 2 și 0,2,3,4,5,6,7,8,9 -->1, voi forma un număr cu totul diferit, neexistent anterior.
Așadar, în măsura imposibilității afișării tuturor cifrelor unui astfel de număr construit după o regulă aleatoare, mai ales datorită faptului că la o anumită poziție în numerele din care a fost construit, acesta nu va avea aceeasi valoare, mulțimea tuturor acestor numere este considerată imposibil de numărat. Altfel spus, aceasta denumește infinitul nenumărabil. Acest „tip” de infinit are ordinul cardinalului alef indubitabil mult mai mare decât cel al mulțimilor numite precedent.
„Numerele raționale sunt ca stele strălucitoare, în timp ce numerele iraționale se aseamănă abisului întunecat”(Anonim).
