INFINITUL
ÎNTRE ABSTRACT ȘI CONCRET
Explicatia lui Georg Cantor
Cea de-a doua explicaÈ›ie provine de la matematicianul Georg Cantor. În anul 1878, Georg Cantor publică în revista Crelle un articol despre conceptul de corespondență 1-1.
De asemenea, el vorbeÈ™te despre echivalenÈ›a mulÈ›imilor: două mulÈ›imi sunt echivalente dacă există o corerespondență 1-1 între ele. Ca să înÈ›elegem acest concept, să vedem ce semnifică formarea unei corespondenÈ›e 1-1.
Ce înseamnă când spun că am acelaÅŸi număr de degete la ambele mâini? Am 5 degete la fiecare, dar e mai simplu de atât. Dacă le suprapun, nu trebuie să le număr ca să verific. Când spunem că două seturi sunt de aceeaÅŸi mărime înseamnă că elementele lor pot fi potrivite în perechi. Acest fapt înseamnă că nu am acelaÅŸi număr de degete la mâini? Sigur că nu. Faptul că nu putem potrivi elementele nu înseamnă nimic. Dacă găsim un mod în care elementele a 2 seturi se potrivesc, atunci spunem că cele două au acelaÅŸi număr de elemente formând, astfel, o corespondență de 1-1.
Cantor defineÈ™te mulÈ›imile numărabile drept mulÈ›imi care pot fi puse într-o relaÈ›ie 1-1 cu mulÈ›imea numerelor naturale È™i dovedeÈ™te că mulÈ›imea numerelor raÈ›ionale este numărabilă astfel :
Creez o matrice pornind din stânga sus, coborând înapoi pe diagonală,sărind peste orice fracÈ›ie, ca 1/1, 2/2, 3/3,etc., care reprezintă acelaÅŸi număr ca cel deja ales. AÈ™a obÈ›inem lista tuturor fracÅ£iilor, realizând o potrivire între numerele întregi ÅŸi fracÅ£ii, deÅŸi credeam că poate ar trebui să existe mai multe fracÅ£ii.(Folosind, din nou, corespondenÈ›a lui Cantor).
Descoperirile lui Georg Cantor au continuat să revoluÈ›ioneze lumea matematicii. Este evident că nu toate numere care nu apar pe axa numerelor întregi sunt fracÈ›ii , adică numerele pe care le numim iraÈ›ionale. Cantor afirmă că imposibilitatea realizării unei corespondenÈ›e 1-1 nu se datorează neÈ™tiintei noastre, ci doar inexistenÈ›ei unei soluÈ›ii.
Spre exemplu, putem considera un set de numere iraÈ›ionale. În orice moment putem stabili o regulă care să creeze un nou număr iraÈ›ional nemaiîntâlnit până în momentul actual.
Dacă din numerele de pe prima coloană am alege pe diagonală câte o cifră, am forma un nou număr. Impunându-i acesta o regulă simplă precum 1 --> 2 È™i 0,2,3,4,5,6,7,8,9 -->1, voi forma un număr cu totul diferit, neexistent anterior.
AÈ™adar, în măsura imposibilității afișării tuturor cifrelor unui astfel de număr construit după o regulă aleatoare, mai ales datorită faptului că la o anumită poziÈ›ie în numerele din care a fost construit, acesta nu va avea aceeasi valoare, mulÈ›imea tuturor acestor numere este considerată imposibil de numărat. Altfel spus, aceasta denumeÈ™te infinitul nenumărabil. Acest „tip” de infinit are ordinul cardinalului alef indubitabil mult mai mare decât cel al mulÈ›imilor numite precedent.
„Numerele raÈ›ionale sunt ca stele strălucitoare, în timp ce numerele iraÈ›ionale se aseamănă abisului întunecat”(Anonim).
