În anii '20 matematicianul german David Hillbert a proiectat un celebru experiment de gândire pentru a demonstra cât e de dificil să pricepem conceptul de infinit.

​

Imaginați-vă un hotel cu un număr infinit de camere și un recepționer de noapte foarte harnic. Într-o noapte, Hotelul Infinit este complet plin, cu toate camerele ocupate cu un număr infinit de oaspeți. Un om intră în hotel și cere o cameră. În loc de a-l refuza, recepționerul de noapte decide să-i ofere o cameră. Cum? Ușor, îl roagă pe ocupantul camerei 1 să se mute în camera 2 și pe cel din camera 2 să se mute în camera 3, și tot așa. Fiecare oaspete se mută din camera „n”, în camera „n+1”. Din moment ce există un număr infinit de camere, există o cameră nouă pentru fiecare oaspete. Astfel, camera 1 este liberă pentru noul client. Procesul se poate repeta pentru orice număr finit de clienți noi.

​

Dar acum sosește un autocar infinit de mare cu un număr numărabil-infinit de pasageri care doresc camere. „ Infinit Numărabil” sunt cuvintele cheie. Recepționerul îl roagă pe oaspetele din camera 1 să se mute în camera 2. Apoi, îl roagă pe cel din camera 2 să se mute în camera 4 și pe cel din camera 3 să se mute în camera 6, și așa mai departe. Fiecare oaspete se mută din camera „n” în camera „2n”, umplând astfel doar camerele infinite cu număr par. Procedând astfel, el a golit acum toate camerele infinite impare, care pot fi ocupate de oamenii care debordează din autocarul infinit.     

         

Într-o zi se produce și incredibilul. Recepționerul se uită afară  și vede o coadă infinită de autocare infinit de mari, fiecare cu un număr de pasageri numărabil-infinit. Ce să facă?  Își amintește că prin anul 300 Î.Hr. Euclid a demonstrat că există o infinitate de numere prime. Astfel, recepționerul atribuie fiecărui client existent camera cu primul număr prim, adică 2, ridicat la puterea numărului camerei actuale. Deci, ocupantul camerei 7 se mută în camera 2 la puterea 7, care înseamnă camera 128. Recepționerul ia toți pasagerii din primul dintre autocarele infinite și le alocă o cameră cu următorul număr prim, 3, ridicat la puterea numărului care reprezintă locul său din autocar,etc. Din moment ce fiecare din aceste numere are ca factori doar pe 1 și puterile sale naturale ale numerelor sale prime, nu vor exista suprapuneri de camere. Deși vor rămâne multe camere neocupate, cum ar fi camera 6, deoarece 6 nu este puterea niciunui număr prim.

​

Strategiile recepționerului sunt posibile doar pentru că Hotelul Infinit, deși e un coșmar logistic, poate gestiona doar nivelul cel mai scăzut de infinitate, și anume, infinitul numărabil.    

​

Dar dacă am avea de-a face cu nivele superioare ale infinitului, cum ar fi cel al numerelor reale, aceste strategii structurate nu ar mai fi posibile căci nu avem cum să includem sistematic fiecare număr.